SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৩.৪ উৎপাদকে বিশ্লেষণ (ভাগশেষ উপপাদ্য)

Admin

09 February

উৎপাদকে বিশ্লেষণঃ ভাগশেষ উপপাদ্য

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করঃ

১. 3a³+2a+5

সমাধানঃ

মনে করি, f(a)= 3a³+2a+5
তাহলে, f(-1)=3.(-1)³+2.(-1)+5=-3-2+5=0
∴{a-(-1)}=(a+1), f(a) এর একটি উৎপাদক
এখন,
3a³+2a+5
=3a³+3a²-3a²-3a+5a+5
=3a²(a+1)-3a(a+1)+5(a+1)
=(a+1)(3a²-3a+5)

২. x³-7xy²-6y³

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= x³-7xy²-6y³তাহলে, f(-y)=(-y)³-7(-y)y²-6y³ =-y³+7y³-6y³ =0
∴{x-(-y)}=(x+y), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³-7xy²-6y³= x³-x²y-x²y-xy²-6xy²-6y³=x²(x+y)-xy(x+y)-6y²(x+y)
=(x+y)(x²-xy-6y²)
=(x+y){x(x-3y)+2y(x-3y)}
=(x+y)(x+2y)(x-3y)

৩. x³+2x²-5x-6

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= x³+2x²-5x-6
তাহলে, f(2)=2³+2.2²-5.2-6=8+8-10-6=0
∴(x-2), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³+2x²-5x-6
=x³-2x²+4x²-8x+3x-6
=x²(x-2)+4x(x-2)+3(x-2)
=(x-2)(x²+4x+3)
=(x-2)(x²+3x+x+3)
=(x-2){x(x+3)+1(x+3)}
=(x-2)(x+1)(x+3)

৪. x³+4x²+x-6

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= x³+4x²+x-6
তাহলে, f(1)=1³+4.1²+1-6=1+4+1-6=0
∴(x-1), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³+4x²+x-6
=x³-x²+5x²-5x+6x-6
=x²(x-1)+5x(x-1)+6(x-1)
=(x-1)(x²+5x+6)
=(x-1){x²+3x+2x+6}
=(x-1){x(x+3)+2(x+3)}
=(x-1)(x+3)(x+2)

৫. a³+3a+36

সমাধানঃ

মনে করি, f(a)= a³+3a+36
তাহলে, f(-3)=(-3)³+3.(-3)+36=-27-9+36=0
∴(a+3), f(a) এর একটি উৎপাদক
এখন,
a³+3a+36
=a³+3a²-3a²-9a+12a+36
=a²(a+3)-3a(a+3)+12(a+3)
=(a+3)(a²-3a+12)

৬. a⁴-4a+3

সমাধানঃ

মনে করি, f(a)= a⁴-4a+3
তাহলে, f(1)=1⁴-4.1+3=1-4+3=0
∴(a-1), f(a) এর একটি উৎপাদক
এখন,
a⁴-4a+3
=a⁴-a³+a³-a²-a-3a+3
=a³(a-1)+a²(a-1)+a(a-1)-3(a-1)
=(a-1)(a³+a²+a-3)………(1)
আবার,
মনে করি, g(a)= a³+a²+a-3
তাহলে, g(1)=1³+1²+1-3=1+1+1-3=0
∴(a-1), f(g) এর একটি উৎপাদক
এখন,
a³+a²+a-3
=a³-a²+2a²-2a+3a-3
=a²(a-1)+2a(a-1)+3(a-1)
=(a-1)(a²+2a+3)
∴a³+3a+36
=(a-1)(a-1)(a²+2a+3)

৭. a³-a²-10a-8

সমাধানঃ

মনে করি, f(a)= a³-a²-10a-8
তাহলে, f(-1)=(-1)³+(-1)²-10(-1)-8=-1-1+10-8=0
∴(a+1), f(a) এর একটি উৎপাদক
এখন,
a³-a²-10a-8
=a³+a²-2a²-2a-8a-8
=a²(a+1)-2a(a+1)-8(a+1)
=(a+1)(a²-2a-8)
=(a+1)(a²-4a+2a-8)
=(a+1){a(a-4)+2(a-4)}
=(a+1)(a+2)(a-4)

৮. x³-3x²+4x-4

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= x³-3x²+4x-4
তাহলে, f(2)=2³-3.2²+4.2-4=8-12+8-4=0
∴(x-2), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³-3x²+4x-4
=x³-2x²-x²+2x+2x-4
=x²(x-2)-x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x²-x+2)

৯. a³-7a²b+7ab²-b³

সমাধানঃ

মনে করি, f(a)= a³-7a²b+7ab²-b³তাহলে, f(b)= b³-7b²b+7bb²-b³=b³-7b³+7b³-b³=0
∴(a-b), f(a) এর একটি উৎপাদক
এখন,
a³-7a²b+7ab²-b³=a³-a²b-6a²b+6ab²+ab²-b³=a²(a-b)-6ab(a-b)+b²(a-b)
=(a-b)(a²-6ab+b²)

১০. x³-x-24

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= x³-x-24
তাহলে, f(3)=3³-3-24=27-3-24=0
∴(x-3), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³-x-24
=x³-3x²+3x²-9x+8x-24
=x²(x-3)+3x(x-3)+8(x-3)
=(x-3)(x²+3x+8)

১১. x³+6x²y+11xy²+6y³

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= x³+6x²y+11xy²+6y³তাহলে, f(-3y)= (-3y)³+6(-3y)²y+11(-3y)y²+6y³= -27y³+54y³-33y³+6y³=60y³-60y³=0
∴(x+3y), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³+6x²y+11xy²+6y³=x³+3x²y+3x²y+9xy²+2xy²+6y³=x²(x+3y)+3xy(x+3y)+2y²(x+3y)
=(x+3y)(x²+2xy+xy+2y²)
=(x+3y){x(x+2y)+y(x+2y)}
=(x+3y)(x+y)(x+2y)

১২. 2x⁴-3x³-3x-2

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= 2x⁴-3x³-3x-2
তাহলে, f(2)= 2.2⁴-3.2³-3.2-2=32-24-6-2=32-32=0
∴(x-2), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
2x⁴-3x³-3x-2
=2x⁴-4x³+x³-2x²+2x²-4x+x-2
=2x³(x-2)+x²(x-2)+2x(x-2)+1(x-2)
=(x-2)(2x³+x²+2x+1)
=(x-2){x²(2x+1)+1(2x+1)}
=(x-2)(2x+1)(x²+1)

১৩. 4x⁴+12x³+7x²-3x-2

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= 4x⁴+12x³+7x²-3x-2
তাহলে, f(-1)= 4.(-1)⁴+12.(-1)³+7(-1)²-3.(-1)-2=4-12+7+3=12-12=0
∴(x+1), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
4x⁴+12x³+7x²-3x-2
=4x⁴+4x³+8x³+8x²-x²-x-2x-2
=4x³(x+1)+8x²(x+1)-x(x+1)-2(x+1)
=(x+1)(4x³+8x²-x-2)
=(x+1){4x²(x+2)-1(x+2)}
=(x+1)(x+2)(4x²-1)
=(x+1)(x+2){(2x)²-1²}
=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x-1)

১৪. x⁶-x⁵+x⁴-x³+x²-x

সমাধানঃ

x⁶-x⁵+x⁴-x³+x²-x
=x(x⁵-x⁴+x³-x²+x-1)
মনে করি, f(x)= x⁵-x⁴+x³-x²+x-1
তাহলে, f(1)= 1⁵-1⁴+1³-1²+1-1=1-1+1-1+1-1=0
∴(x-1), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x⁵-x⁴+x³-x²+x-1
=x⁴(x-1)+x²(x-1)+1(x-1)
=(x-1)(x⁴+x²+1)
=(x-1){(x²)²+2.x².1+1²-x²}
=(x-1){(x²+1)²-x²}
=(x-1)(x²+1-x)(x²+1+x)
∴x⁶-x⁵+x⁴-x³+x²-x
=x(x-1)(x²+1-x)(x²+1+x)

১৫. 4x³-5x²+5x-1

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)= 4x³-5x²+5x-1
তাহলে, f(1/4)= 4.(1/4)³-5.(1/4)²+5.(1/4)-1=4/64-5/16+5/4-1=1/16-5/16+20/16-16/16=0/16=0
∴(x-1/4) বা (4x-1), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
4x³-5x²+5x-1
=4x³-x²-4x²+x+4x-1
=x²(4x-1)-x(4x-1)+1(4x-1)
=(4x-1)(x²-x+1)

১৬. 18x³+15x²-x-2

সমাধানঃ

মনে করি, f(x)=18x³+15x²-x-2
তাহলে, f(-1/2)= 18.(-1/2)³+15.(-1/2)²-(-1/2)-2=-18/8+15/4+1/2-2=-9/4+15/4+2/4-8/4=0/4=0
∴(x+1/2) বা (2x+1), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
18x³+15x²-x-2
=18x³+9x²+6x²+3x-4x-2
=9x²(2x+1)+3x(2x+1)-2(2x+1)
=(2x+1)(9x²+3x-2)
=(2x+1){3x(3x+2)-1(3x+2)}
=(2x+1)(3x+2)(3x-1)

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।