JSC/Class 8 Math BD-অধ্যায় ৪.৪ঃ অষ্টম শ্রেণি-বীজগণিতীয় রাশির গসাগু ও লসাগু

Class 8/JSC math BD, Class eight math solution bd, class 8 math pdf download, অষ্টম শ্রেণির গণিত সমাধানঃ অধ্যায়ঃ ৪.৪ বীজগণিতীয় রাশির গসাগু ও লসাগু।

বীজগণিতীয় রাশির গসাগু ও লসাগু



১। a+1/a=2 হলে, a2+1/a2 এর মান নিচের কোনটি?

(ক) 2               (খ) 4                (গ) 6                (ঘ) 8

উত্তরঃ ক

২। 52 – এর বর্গ নিচের কোনটি?

(ক) 2704         (খ) 2504           (গ) 2496          (ঘ) 2284

উত্তরঃ ক

৩। a2 + 2a -15 - এর উৎপাদকে বিশ্লেষন নিচের কোনটি?

(ক) (a + 5)(a - 3)        (খ) (a + 3)(a + 5)       (গ) (a - 3)(a - 5)         (ঘ) (a + 3)(a + 5)

উত্তরঃ ক

৪। x2 - 64 - এর উৎপাদকে বিশ্লেষন নিচের কোনটি?

(ক) (x - 8)(x -8)          (খ) (x + 8)(x + 8)         (গ) (x + 8)(x -8)         (ঘ) (x + 4)(x - 4)

উত্তরঃ গ

৫। 3a2b4c3 , 12a3b2c,  6a4bc2 - এর গ.সা.গু. কোনটি?

(ক) 3a2bc        (খ) 3a2b2       (গ) 12abc        (ঘ) 3abc

উত্তরঃ ক

৬। a - b, a2 - ab, a2 - b2 – এর ল.সা.গু. কোনটি?

(ক) a(a - b)     (খ) (a - b)       (গ) a(a2 - b2 ) (ঘ) (a2 - b)

উত্তরঃ গ

৭। (x + 8)(x - 7) – এর গুনফল কোনটি?

(ক) x2 + x – 56                       (খ) x2 -15x + 56       (গ) x2 +15x – 36          (ঘ) x2 - x + 56

উত্তরঃ ক

৮।     

(i) x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)

(ii) ab={(a+b)/2}2-(a-b)/2}2}

(iii) x3 + y3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)

উপরের তথ্য অনুযায়ী নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii           (খ) i ও iii         (গ) ii ও iii        (ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ক

৯।        

(i) ab={(a+b)/2}2-(a-b)/2}2}

(ii) ab={(a+b)/2}2+(a-b)/2}2}

(iii) ab=(a+b)2/4-(a-b)2/4

উপরের তথ্য অনুযায়ী নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii           (খ) i ও iii         (গ) ii ও iii        (ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ গ

১০। x + y = 5 ও x - y = 3 হলে,

(১) x2 + y2 এর মান কত?

(ক) 15        (খ) 16        (গ) 17         (ঘ) 18

উত্তরঃ গ

(২) xy এর মান কত?

(ক) 10          (খ) 8         (গ) 6         (ঘ) 4

উত্তরঃ ঘ          

(৩) x2 - y2 এর মান কত?

(ক) 13         (খ) 14         (গ) 15         (ঘ) 16

উত্তরঃ গ

১১। x+1/x=2 হলে,

(i)  x+ y2 এর মান কত?

(ক) 15         (খ) 16      (গ) 17         (ঘ) 18

উত্তরঃ ক

(ii) x3+1/xএর মান কত?

(ক) 1          (খ) 2        (গ) 3          (ঘ) 4

উত্তরঃ খ

(iii) x4+1/xএর মান কত?

(ক) 8          (খ) 6          (গ) 4          (ঘ) 2

গ.সা.গু নির্নয় কর (১২- ১৯) :

১২। 36a2b2c4d5 , 54a5c2d4 এবং 90a4b3c2

সমাধান :

36, 54, 90 - এর গ.সা.গু. = 18

এবং a2b2c4d5 , a5c2d4 ও a4b3c2 - এর উৎপাদগুলোর

সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাত যথাক্রমে a2 ও c2

নির্নেয় গ.সা.গু. =18a2c2

১৩। 20x3 y2a3b4 , 15x4 y3a4b3 এবং 35x2 y4a3b2

সমাধান :

20, 15, 35 - এর গ.সা.গু. = 5

এবং x3 y2a3b4 , x4 y3a4b3 এবং x2 y4a3b2- এর উৎপাদগুলোর

সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাত যথাক্রমে x2 y2, a3, b2

নির্নেয় গ.সা.গু. =5x2 y2a3b2

১৪। 15x2 y3z4a3 , 12x3 y2z3a4 এবং 27x3 y4 z5a7

সমাধান :

15, 12, 27 - এর গ.সা.গু. = 3

এবং x2 y3z4a3 , x3 y2z3a4 এবং x3 y4 z5a7- এর উৎপাদগুলোর

সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাত যথাক্রমে  x2 ,y2, z3 , a3

নির্নেয় গ.সা.গু. = 3x2 y2z3a3

১৫। 18a3b4c5 , 42a4c34 , 60b3c4d5 এবং 78a2b4c43

সমাধান :

18, 42, 60, ও 78 - এর গ.সা.গু. = 6

এবং a3b4c5 , a4c34 , b3c4d5 ও a2b4c4d3 – এর উতপাদকগুলোর সর্বোচ্চ সাধারন ঘাত নাই।

নির্নেয় গ.সা.গু.=6

১৬। x2 + 3x , x2 - 9 এবং x2 - 4x + 3

সমাধান :

এখানে,

প্রথম রাশি = x2 - 3x

=x(x- 3)

দ্বিতীয় রাশি = x2 - 9

=(x)2 - (3)2

=(x -3)(x + 3)

তৃতীয় রাশি = x2 - 4x + 3

=x2 - 3x - x + 3

= x(x - 3) - 2(x - 3)

=(x - 2)(x - 3)

এখানে, রাশিগুলোর সাধারন উতপাদক x-3 এবং সর্বোচ্চ সাধারন ঘাত x-3

সুতরাং নির্নেয় গ.সা.গু=x-3

১৭। 18(x + y)3 , 24(x + y)2 এবং 32(x2 - y2 )

সমাধানঃ

এখানে,

প্রথম রাশি=18(x + y)3

             =2.3.3(x+y)(x+y)(x+y)

দ্বিতীয় রাশি=24(x + y)2

              =2.2.2.3(x+y)(x+y)

তৃতীয় রাশি=32(x2 - y2)

              =2.2.2.2.2(x+y)(x+y)

এখানে, রাশিগুলোর সাধারন উৎপাদক 2(x+y) এবং সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাত 2(x+y)

সুতারাং নির্নেয় গ.সা.গু= 2(x+y)

১৮। a2b(a3 - b3 ) , a2b2 (a4 + a2b2 + b4 ) এবং a3b2 + a2b3 + ab4 )

সমাধান : এখানে,

প্রথম রাশি= a2b(a3 - b3 )

            = a2b(a - b)(a2 + ab + b2 )

দ্বিতীয় রাশি =a2b2 (a4 + a2b2 + b4 )

            = a2b2{(a2 )2 + 2a2b2 + (b2 )2 - (ab)2}

            = a2b2{(a2 + b2 )2 - (ab)2}

            =a2b(a2 + ab + b2 )(a2 -ab + b2 )

তৃতীয় রাশি = a3b2 + a2b3 + ab4 )

            =ab2 (a2 + ab + b2 )

এখানে, রাশিগুলোর সাধারণ উৎপাদক ab(a2 + ab + b2 )

এবং সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাত ab(a2 + ab + b2 )।

সুতারাং নির্নেয় গ.সা.গু= ab(a2 + ab + b2

১৯। a3 - 3a2 -10a , a3 + 6a2 + 8a এবং a4 - 5a3 -14a2

সমাধান :

এখানে

প্রথম রাশি= a3 - 3a2 -10a

        = a(a2 -3a -10)

        = a(a2 - 5a + 2a -10)

        = a{a(a -5) + 2(a - 5)}

        = a(a - 5)(a + 2)

দ্বিতীয় রাশি= a3 + 6a2 + 8a

        = a(a2 + 6a + 8)

        = a(a2 + 4a + 2a + 8)

        = a{a(a + 4) + 2(a + 4)}

        = a(a + 4)(a + 2)

তৃতীয় রাশি= a4 - 5a3 -14a2

        =a2(a2-5a-14)

        =a2{(a2-7a+2a-14)}

        =a2(a(a-7)+2(a-7)}

        =a2(a-7)(a+2)

এখানে, রাশিগুলোর সাধারন উতপাদক a(a+2) এবং সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাত a(a+2)

সুতারাং, নির্নেয় গ.সা.গু= a(a+2)

লসাগু নির্নয় কর (২০- ২৭) :

২০। a5bc , ab3c2 এবং a7b4c3

সমাধান :

প্রদত্ত রাশিগুলোর উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ সাধারন ঘাত  a7,b4,c3

নির্নেয় লসাগু= a7b4c3

২১। 5a2b3c2 , 10ab2c3 এবং 15ab3c

সমাধান :

5, 10  15 - এর লসাগু = 30

এবং a2b3c2 , ab2c3  ab3c – এর উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ সাধারন ঘাত যথাক্রমে a2 , b3 ও c3 

সুতরাং নির্নেয় লসাগু= 30a2b3c3

২২। 3x3 y2 , 4xy2z , 5x4 y2z2 এবং 12xy4z2

সমাধান :

3, 4  5 এর লসাগু = 60

এবং x3 y2 , xy2 z  x4 y2 zএর উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ সাধারন ঘাত যথাক্রমে  x4 , y2  z2 

তরাং নির্নেয় লসাগু= 60x4 y2 z2

২৩। 3a2d3 , 9d 2b2 , 12c32 , 24a3b2 এবং 36c32

সমাধান :

3, 9, 12, 24  36 - এর লসাগু = 72

এবং a23 , d 2b2 , c32 , a3b2  c32 - এর উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ সাধারন ঘাত যথাক্রমে a3 , b2 , c3  d3 

সুতরাং নির্নেয় লসাগু= 72a3b2c3d3

২৪। x2 + 3x + 2 , x2 -1, এবং x2 + x - 2

সমাধান : এখানে,

প্রথম রাশি=x2 + 3x + 2

    = x2 + 2x + x + 2

    = x(x + 2) +1(x + 2)

    = (x + 2)(x +1)

দ্বিতীয় রাশি = x-1

    = x2 -12

    = (x +1)(x -1)

তৃতীয় রাশি = x2 + x - 2

    = x2 + 2x -1x - 2

    = x(x + 2) -1(x + 2)

    = (x + 2)(x -1)

সুতরাং নির্নেয় লসাগু= (x + 2)(x +1)(x -1)

    = (x-1)(x + 2)

২৫। x2 - 4 , x2 + 4x + 4 এবং x3 -8

সমাধান : এখানে,

১ম রাশি = x2 - 4

    = x2 - 22

    = (x - 2)(x + 2)

২য় রাশি = x2 + 4x + 4

    = x2 + 2x + 2x + 4

    = x(x + 2) + 2(x + 2)

    = (x + 2)(x + 2)

তৃতীয় রাশি = x3 -8

    = x3 - 23

    = (x - 2)(x2 + x.2 + 22 )

    = (x - 2)(x2 + 2x + 4)

সুতরাং নির্নেয় লসাগু= (x + 2)(x + 2)(x - 2)(x2 + 2x + 4)

    = (x + 2)2 (x3 - 23 ) = (x + 2)2 (x3 - 8)

২৬। 6x2 - x -1, 3x2 + 7x + 2 এবং 2x2 + 3x - 2

সমাধান : এখানে,

১ম রাশি= 6x2 - x -1

    = 6x2 - 3x + 2x -1

    = 3x(2x -1) +1(2x -1)

    = (2x +1)(3x -1)

২য় রাশি= 3x2 + 7x + 2

    = 3x2 + 6x + x + 2

    = 3x(x + 2) +1(x + 2)

    = (x + 2)(3x +1)

৩য় রাশি= 2x2 + 3x - 2

    = 2x2 + 4x - x - 2

    = 2x(x + 2) -1(x + 2)

    = (x + 2)(2x -1)

সুতরাংনির্নেয় লসাগু= (2x -1)(3x +1)(x + 2) = (x2 -1)(x + 2)

২৭। a3 + b3 , (a + b)3 , (a2 - b2 )2 এবং (a2 - ab + b2 )2

সমাধান : এখানে,

১ম রাশি= a3 + b3

    = (a + b)(a2 - ab + b2 )

২য় রাশি= (a + b)3

    = (a + b)(a + b)(a + b)

৩য় রাশি= (a2 - b2 )2

    = (a2 - b2 )2

    = (a2 - b2 )(a2 - b2 )

    = (a + b)(a - b)(a + b)(a - b)

৪র্থ রাশি= (a- ab + b2 )2

    = (a2 - ab + b2 )(a- ab + b2 )

সুতরাংনির্নেয় লসাগু= (a +b)(a +b)(a +b)(a -b)(a -b)(a2 -ab+b2)(a2 -ab+b2)

২৮। x2+1/x2=3 হলে,

ক. (x+1/x)2  এর মান নির্নয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,  x2+1/x2=3

(x+1/x)2  =x2+2.x.1/x+1/x2

            =x2+1/x2+2

            =3+2

            =5

খ.  X2+1/x2 এর মান কত?

সমাধানঃ

ক হতে পাই, (x+1/x)2  =5

বা, (x+1/x)= 5

এখন,  

            x6+1

           -------
      X3

=x6/x3+1/x3

=x3+1/x3

=(x+1/x)3-3.x.1/x(x+1/x)

=5. √5-3. √5

=2. √5

সুতরাং নির্নেয় মান  2. √5

গ. X2+1/x2 এর ঘন নির্নয় করে মান বের কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x2+1/x2=3

এখন,( x2+1/x2)=(x2)3+(1/x2)3+3.x2.1/x2(x2+1/x2)

            ={(x2)3+(1/x2)3}+3.3

            =(x2+1/x2)3-3.x2.1/x2(x2+1/x2)+9

            =33-3.3+9       

            =27-9+9

            =27

২৯। a - b + c একটি বীজগণিতীয় রাশি হলে,

(ক) প্রদত্ত রাশির ঘন নির্নয় কর।

সমাধান :

প্রদত্ত রাশির ঘন = (a - b + c)3

    = {(a - b) + (c)}3

    = (a - b)3 + 3.(a - b)2.c + 3.(a - b).c2 + c3

    = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3c(a2 - 2ab + b2 ) + 3c2 (a - b) + c3

    = a3 -3a2b+3ab2 -b3 +3a2c -6abc+3b2c +3ac2 -3bc+ c3

(খ) প্রমান কর যে, (a - b + c)3 ≠ (a - b)3 + c3

সমাধান :

বামপক্ষ = (a - b + c)3

    = a3 -3a2b + 3ab2 -b3 +3a2c - 6abc+ 3b2c +3ac2 -3bc + c3

ডানপক্ষ = (a - b)3 + c3

    = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3 + c3

সুতরাং,  (a - b + c)3  (a - b)3 + c3 ( প্রমাণিত )

(গ) প্রমান কর যে প্রদত্ত রাশির বর্গ ও (a + c)2 - b2 সমান নয়।

সমাধান :

এখন, প্রদত্ত রাশির বর্গ= (a - b + c)2

    ={(a - b) + (c)}2

    = (a - b)2 + 2.(a - b)(c) + c2

    = a2 - 2ab + b2 + 2ac - 2bc + c2

    = a+ b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ac

এবং (a + c)2 - b2 = a2 + 2ac + c2 - b2

    = a2 - b2 + c2 + 2ac

দেখা যাচ্ছে (a - b + c) এর বর্গ এবং (a + c)2 - b2 এর  মান একই নয়।

সুতরাং প্রদত্ত রাশির বর্গ ও (a + c)2 - b2 সমান নয় (প্রমাণিত)

Make CommentWrite Comment