JSC/Class 8 Math BD-অধ্যায়ঃ ৪.২ অষ্টম শ্রেণি- ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত

Class 8/JSC math BD, Class eight math solution bd, class 8 math pdf download, অষ্টম শ্রেণির গণিত সমাধানঃ অধ্যায়ঃ ৪.২ ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত।
Admin
Admin
13 November

ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্তঃ


১। সূত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর ঘন নির্নয় করঃ

(ক) 3x + y    (খ) x2 + y     (গ) 5 p + 2q     (ঘ) a2b + c2d       (ঙ) 6 p - 7

(চ) ax – by     (ছ) 2 p2 - 3r 2 (জ) x3 + 2     (ঝ) 2m + 3n - 5 p

(ঞ) x2 - y 2 + z 2     (ট) a2b2 - c2d 2        (ঠ) a2b - b3c     (ড) x3 - 2 y3

(ঢ) 11a -12b              (ণ) x3 + y3


(ক) 3x + y

সমাধানঃ

(3x + y)3=(3x)3 +3* (3x)2 * y + 3* (3x) * ( y)2 + (y)3

                        =27x3 +3* 9x2 * y + 3* (3x) * ( y)2 + (y)3

                        =27x3 +27x2 y + 9x y2 + y3

 

(খ) x2 + y       

সমাধানঃ

(x2 + y)3=(x2)3+3*(x2)2 *y+3* x2*y2+y3

                =x6+3*x4*y+3*x2*y2+y3

                = x6+3x4y+3x2y2+y3

 

(গ) 5 p + 2q  

সমাধানঃ

(5 p + 2q)3=(5 p)3 + 3* (5 p)2 * 2q + 3* (5 p) * (2q)2 + (2q)3

= 125 p3 + 3* 25 p2 * 2q + 3* 5 p * 4q2 + 8q3

=125 p3 +150 p2q + 60 pq 2 + 8q3

 

(ঘ) a2b + c2d

সমাধানঃ

(a2b + c2d)3= (a2b)3 + 3* (a 2b)2 * c2 d + 3* (a2 b) * (c2 d)2 + (c2 d)3

= a6b3 + 3* a4b2 * c2d + 3* a2b * c4d 2 + c6d 3

=a6b3 + 3a4b2c2d + 3a2bc4d 2 + c6d 3

 

(ঙ) 6 p – 7

সমাধানঃ

(6 p – 7)3=(6p)3-3*(6p)2*7+3*(6p)*(7)2-(7)3

            =216p3-3*36p2*7+3*(6p)*49-343

            =216p3-756p2+882p-343

 

(চ) ax – by     

সমাধানঃ

(ax – by)3=(ax)3-3*(ax)2*by+3*(ax)*(by)2-(by)3

                                =a3x3-3*a2x2*by+3*ax*b2y2-b3y3

                                = a3x3-3a2x2by+3axb2y2-b3y3

 

(ছ) 2 p2 - 3r 2

সমাধানঃ

(2p2 - 3r 2)3=(2p2)3-3*(2p2)2*3r2+3*(2p2)*(3r2)2-(3r2)3

                        =8p6-3*4p4*3r2+3*2p2*9r4-27r6

                         =8p6-36p4r2+54p2r4-27r6

 

(জ) x3 + 2      

সমাধানঃ

(x3 + 2)3=(x3)3+3*(x3)2*2+3*(x3)*(2)2+(2)3

                =x9+3*x6*2+3*x3*4+8

        =x9+6x6+12x3+8

 

(ঝ) 2m + 3n - 5 p

সমাধানঃ

(2m + 3n - 5 p)3={(2m +3n) - (5 p)}3

= (2m+ 3n)3 – 3*(2m+ 3n)2 * (5 p) + 3*(2m+ 3n)*(5p)2 – (5 p)3

= {(2m)3 + 3* (2m)2 * 3n + 3* (2m) * (3n)2 + (3n)3} -15 p *{(2m)2 + 2* 2m*3n + (3n)2}+ 3* (2m + 3n)* 25 p2 -125 p3

= 8m3 +  4m2 * 9n + 6m* 9n2 + 27n3 -15 p *{4m2 +2* 2m*3n + (3n)2}+ 3* (2m + 3n)* 25 p2 -125 p3

=8m3 +  36m2 n + 36mn2 + 27n3 -15 p *4m2 -15p*2* 2m*3n -15p* 9n2+ 6m*25p2 + 9n* 25p2 -125 p3

=8m3 +  36m2 n + 36mn2 + 27n3 -60 pm2 -180pmn -135pn2+ 150mp2 + 225np2 -125 p3

 

(ঞ) x2 - y 2 + z 2        

সমাধানঃ

(x2 - y 2 + z 2)3

={( x2 - y 2) + (z 2)}3

= (x2 - y2 )3 + 3(x2 - y2 )2 z2 + 3(x2 - y2 )(z2 )2 + (z2 )3

= {(x2 )3 - 3(x2 )2 y2 + 3x2 ( y2 )2 - ( y2 )3} +3(x2 - y2 )2 z2 + 3(x2 - y2 )(z2 )2 + (z2 )3

= x6 - 3x4 y2 + 3x2 y4 - y6 + 3z2{(x2 )2 + 2x2 y2 + ( y2 )2}+ 3z4 (x2 - y2 ) + z6

= x6 - 3x4 y2 + 3x2 y4 - y6 + 3x4 z2 - 6x2 y2 z2 + 3y6 z2 + 3z4 x2 - 3z4 y2 + z6

= x6 - y6 + z6 - 3x4 y2 + 3x2 y4 + 3x4 z2 - 6x2 y2 z2 + 3y6 z2 +3x2 z4 - 3y2 z4

 

(ট) a2b2 - c2d 2            

সমাধানঃ

(a2b2 - c2d 2 )3 = (a2b2) 3 – 3* (a2b2 )2 * c 2d2 + 3* (a2 b2 )* (c2 d2 )2 – (c2 d2)3

= a6b6 - 3a4b4c2d 2 + 3a2b2c4d 4 - c6d 6

 

(ঠ) a2b - b3c   

সমাধানঃ

(a2b - b3c)3= (a2b) 3 – 3* (a2 b2)2 * b3 c + 3 (a2 b)* (b3 c)2 – (b3 c)3

=a6b3 - 3a4b2b3c + 3a2bb6c2 - b9c3

=a6b3 - 3a4b5c + 3a2b7c2 - b9c3

 

(ড) x3 - 2 y3

সমাধানঃ

(x3 -2y3 )3 =( x3) 3 – 3* (x3 )2 * 2y3 + 3* (x3 )* (2 y3 )2 + (2y3)3

= x9 - 6x6 y3 + 12 x3 y6 - 8y9

 

(ঢ) 11a -12b

সমাধানঃ

(11a -12b)3 = (11a)3 – 3* (11a)2 *12b + 3* (11a)* (12b)2 – (12b)3

=1331a3 - 4356a2b+ 4752ab2 -1728b3

           

(ণ) x3 + y3

সমাধানঃ

(x3 + y3 )3 =( x3) 3 + 3* (x3 )2 * y3 + 3* (x3 )* ( y3 )2 +( y3)3

= x9 + 3x6 y3 + 3x3 y6 + y9

 

২। সরল করঃ

(ক) (3x + y)3 + 3(3x + y)2 (3x - y) + 3(3x + y)(3x - y)2 + (3x - y)3

(খ) (2 p + 5q)3 + 3(2 p + 5q)2 (5q - 2 p) + 3(2 p + 5q)(5q - 2 p)2 + (5q - 2 p)3

(গ) ( x + 2 y)3 - 3( x + 2 y)2 (x - 2 y) + 3( x + 2 y)( x - 2 y)2 - (x - 2 y)3

(ঘ) (6m + 2)3 - 3(6m + 2)2 (6m - 4) + 3(6m + 2)(6m - 4)2 + (6m - 4)3

(ঙ) ( x - y)3 + ( x + y)3 + 6x(x2 - y2)

 

(ক) (3x + y)3 + 3(3x + y)2 (3x - y) + 3(3x + y)(3x - y)2 + (3x - y)3

সমাধানঃ

ধরি, 3x + y = a

এবং 3x - y = b

∴ (3x + y)3 + 3(3x + y)2 (3x - y) + 3(3x + y)(3x - y)2 + (3x - y)3

=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= (a + b)3

= (3x + y + 3x - y)3 [মান বসিয়ে]

= (6x)3

= 216x3


(খ) (2 p + 5q)3 + 3(2 p + 5q)2 (5q - 2 p) + 3(2 p + 5q)(5q - 2 p)2 + (5q - 2 p)3

সমাধানঃ

ধরি, 2p+5q=a

এবং,5q-2p=b

∴ প্রদত্ত রাশি= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

                        =(a+b)3

                        =(2p+5q+5q-2p)3  [মান বসিয়ে]

                        =(10q)3             

                         =1000q3

 

(গ) ( x + 2 y)3 - 3( x + 2 y)2 (x - 2 y) + 3( x + 2 y)( x - 2 y)2 - (x - 2 y)3

সমাধানঃ

ধরি, x+2y=a

এবং, x-2y=b

∴ প্রদত্ত রাশি= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

                        =(a-b)3

                        ={(x+27)-(x-2y)}3 [মান বসিয়ে]

                        =(x+2y-x+2y)3

                        =(4y)3

                         =64y3

 

(ঘ) (6m + 2)3 - 3(6m + 2)2 (6m - 4) + 3(6m + 2)(6m - 4)2 + (6m - 4)3

সমাধানঃ

ধরি, 6m+2=a

এবং 6m-4=b

∴ প্রদত্ত রাশি= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

                        =(a-b)3

                        ={(6m+2)-(6m-4)}3   [মান বসিয়ে]

                        =(6m+2-6m+4)3

                        =63

                        =216

 

(ঙ) ( x - y)3 + ( x + y)3 + 6x(x2 - y2)

সমাধানঃ

ধরি, x-y=a

এবং, x+y=b

∴a+b=x-y+x-y=2x

এখন, ( x - y)3 + ( x + y)3 + 6x(x2 - y2)

=(x - y)3 + ( x + y)3 + 3*2x*(x - y)(x+y)        [x2-y2=(x+y)(x-y)]

=a3+b3+3*(a+b)*a*b [মান বসিয়ে]

=a3+b3+3ab(a+b)

=(a+b)3

=(2x)3  [মান বসিয়ে]

=8x3

 

৩। a+b=8 এবং ab=15 হলে  a3+b3 এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+b=8 এবং ab=15

∴প্রদত্ত রাশি= a3+b3               

                        =(a+b)3-3ab(a+b)

                        =83-3*15*8

                        =512-360                 

                        =152

৪। x+y=2 হলে, দেখাও যে, x3+y3+6xy=8

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x+y=2

দেখাতে হবে, x3+y3+6xy=8

বামপক্ষ= x3+y3+6xy

            = x3+y3+3xy.2

            = x3+y3+3xy(x+y)   [x+y=2]

            =(x+y)3

            =23      [মান বসিয়ে]

            =8      

   =ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

 

৫। 2x+3y=13 এবং xy=6 হলে,  8x3+27y3 এর মান নির্নয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, 2x+3y=13 এবং xy=6

প্রদত্ত রাশি=8x3+27y3

            =(2x)3+(3y)3   

            =(2x+3y)3-3*2x*3y*(2x+3y)

            =(13)3-18xy(13)

            =(13)3-18*6*13

            =2197-1404

            =793

 

৬। p-q=5 এবং pq=3 হলে, p3-q3 এর মান নির্নয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, p-q=5 এবং pq=3

প্রদত্ত রাশি= p3-q3

                        =(p-q)3+3pq(p-q)

                        =53+3*3*5

                        =125+45      

                        =170  

 

৭। x-2y=3 হলে, x3-8y3-18xy এর মান নির্নয় কর?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x-2y=3

প্রদত্ত রাশি= x3-8y3-18xy

                        = x3-(2y)3-3.x.2y.3

                        = x3-(2y)3-3.x.2y.(x-2y)     [x-2y=3)

                        =(x-2y)3

                        =33   [মান বসিয়ে]

                        =27


৮। 4x-3=5 হলে, প্রমান কর যে, 64x3-27-180x=125

দেওয়া আছে,  4x-3=5

প্রমান করতে হবে যে, 64x3-27-180x=125

বামপক্ষ=64x3-27-180x

            =(4x)3-33-180x

            =(4x-3)3+3.4x.3(4x-3)-180x

            =53+36.x.5-180x

            =53+180x-180x

            =53

            =125

   =ডানপক্ষ [প্রমাণিত]


 

৯। a=-3 এবং b=2 হলে, 8a3+36a2b+54ab2+27b3 এর মান নির্নয় কর

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a=-3 এবং b=2

প্রদত্ত রাশি=8a3+36a2b+54ab2+27b3

                =(2a)3+3.(2a)2 .3b+3.2a.(3b)2+(3b)3

            =(2a+3b)3

            ={2(-3)+3(2)}3

                =(-6+6)3

            =(0)3

                =0

নির্নেয় মান  0

১০। a=7 হলে, a3+6a2+12a+1 এর মান নির্নয় কর

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a=7

প্রদত্ত রাশি= a3+6a2+12a+1

            = a3+3.a2.2+3.a.22+22-7

            =(a+2)3-7

            =(7+2)3-7

            =729-7

            =722

নির্নেয় মান 722

 

১১। x=5 হলে, x3-12x2+48x-64 এর মান কত

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x=5

প্রদত্ত রাশি= x3-12x2+48x-64

            = x3-3.x2.4+3.x.42-43

            =(x-4)3

                =(5-4)3

                =13

                =1

নির্নেয় মান 1


১২। a2+b2=c2  হলে প্রমান কর যে, a6+b6+3a2b2c2=c4

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a2+b2=c2  

প্রমান করতে হবে যে, a6+b6+3a2b2c2=c4

 

বামপক্ষ= a6+b6+3a2b2c2

            =(a2)3+(b2)3+3a2b2c2

            =(a2+b2)3-3a2.b2(a2+b2)+ 3a2b2c2

            =(c2)3-3a2b2(c)2+3a2b2c2

                =c6

    =ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


১৩। x+1/x=4 হলে, প্রমান কর যে, x3+1/x3=52

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x+1/x=4

প্রমান করতে হবে যে, x3+1/x3=52

বামপক্ষ= x3+1/x3

            = (x)3+(1/x)3

                =(x+1/x)3-3.x.1/x(x+1/x)

            =(4)3-3(4)

            =64-12

            =52     

   =ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

 

১৪। a-1/a=5 হলে, a3-1/a3  এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a-1/a=5

প্রদত্ত রাশি= a3-1/a3  

            =(a-1/a)3+3.a.1/a.(1-1/a)

            =53+3.5

            =125+15        

            =140

নির্নেয় মান 140

 

১৫। সূত্রের সাহায্যে গুনফল নির্নয় কর?

(ক) (a2 + b2 )(a4 - a2b2 + b4 )  (খ) (ax - by)(a2 x2 + abxy + b2 y2 )

(গ) (2ab2 -1)(4a2b4 + 2ab2 +1)           (ঘ) (x2 + a)(x4 - ax2 + a2 )

(ঙ) (7a + 4b)(49a2 - 28ab +16b2 )     (চ) (2a -1)(4a2 + 2a +1)(8a3 +1)

(ছ) (x + a)(x2 - ax + a2 )(x - a)(x2 + ax + a2 )

(জ) (5a + 3b)(25a2 -15ab +9b2 )(125a3 - 27b3 )

 

(ক) (a2 + b2 )(a4 - a2b2 + b4 ) 

সমাধানঃ (a2 + b2 )(a4 - a2b2 + b4 )

            =(a2 + b2 ){(a2)2 - a2b2 + (b2)2 )

            =( a2)3 + (b2)3

                = a6+b6


 (খ) (ax - by)(a2 x2 + abxy + b2 y2 )

সমাধানঃ

(ax - by)(a2 x2 + abxy + b2 y2 )

=(ax - by){(ax)2 + abxy +( b y)2 }

=(ax)2+(bx)2

=a2x2+b2y2

 

(গ) (2ab2 -1)(4a2b4 + 2ab2 +1)  

সমাধানঃ

(2ab2 -1)(4a2b4 + 2ab2 +1)  

            =(2ab2 -1){(2ab2)2 + 2ab2 +12}

            =(2ab2)3-13

                =8a3b6-1

 

(ঘ) (x2 + a)(x4 - ax2 + a2 )

সমাধানঃ

(x2 + a)(x4 - ax2 + a2 )

            =(x2 + a){(x2)2 - x2 .a+ a2 )

            =(x2)3+(a)3

                =x6+a3


(ঙ) (7a + 4b)(49a2 - 28ab +16b2 )    

সমাধানঃ

(7a + 4b)(49a2 - 28ab +16b2 )

            =(7a + 4b){(7a2)2 – 7a.4b +(4b2)2}

            =(7a)3+(4b)3

            =343a3+64b3


 (চ) (2a -1)(4a2 + 2a +1)(8a3 +1)

সমাধানঃ

(2a -1)(4a2 + 2a +1)(8a3 +1)

            =(2a -1){(2a)2 + 2a.1 +12)(8a3 +1)

            ={(2a)3-(1)3}{8a3+1}

            =(8a3-1)(8a3+1)

            =(8a3)2-12

                =64a6-1


(ছ) (x + a)(x2 - ax + a2 )(x - a)(x2 + ax + a2 )

সমাধানঃ

(x + a)(x2 - ax + a2 )(x - a)(x2 + ax + a2 )

            =(x3 + a3)(x3-a3)

            =x6-a6


(জ) (5a + 3b)(25a2 -15ab +9b2 )(125a3 - 27b3 )

সমাধানঃ

(5a + 3b)(25a2 -15ab +9b2 )(125a3 - 27b3 )

={(5a)3-(3b)3}(125a3-27b3)

=(125a3+27b3)(125a3-27b3)

=(125a3)2-(27b3)2

=15625a6-729b6


১৬। উৎপাদকে বিশ্লেষন করঃ

(ক) a3 +8         (খ) 8x3 + 343   (গ) 8a4 + 27ab3

(ঘ) 8x3 +1        (ঙ) 64a3 +125b3         (চ) 729a3 + 64b3c6

(ছ) 27a3b3 + 64b3c3    (জ) 56x3 +189 y3

 

(ক) a3 +8        

সমাধানঃ

a3 +8

            = a3 +23

                =(a+2)(a2-a*2+22)

            =(a+2)(a2-2a+4)

 

 (খ) 8x3 + 343

সমাধানঃ

8x3 + 343

            =(2x)3 + 73

                =(2x+7){(2x)2-2x.7+72}

            =(x+7)(4x2-14x+49)

 

(গ) 8a4 + 27ab3

সমাধানঃ

8a4 + 27ab3

                =a{8a3 + 27b3}

            =a{(2a)3+(3b)3}

            =a{(2a+3b){(2a)2-2a.3+32)

            =a(2a+3b)(4a2-6a+9)


(ঘ) 8x3 +1

সমাধানঃ

8x3 +1

            =(2x)3 +13)

                =(2X+1){(2x)2-2x.1+12}

            =(2a+1)(4x2-21+1)

 

(ঙ) 64a3 +125b3

সমাধানঃ

64a3 +125b3

=(4a)3 +(5b)3

=(4a+5b){(4a)2-4a.5b+(5b)2)

=(4a+5b)(16a2-20ab+25b2)


(চ) 729a3 + 64b3c6

সমাধানঃ

729a3 + 64b3c6

                =(9a)3 + (4bc2)3

                =(9a-4bc2){(9a)2+9a.4bc2+(4bc2)2}

            =(9a-4bc2)(81a2+361bc2+16b2c4)

 

(ছ) 27a3b3 + 64b3c3

সমাধানঃ

27a3b3 + 64b3c3

=b3{(3 a)3 + (4c)3}

=b3(3a+4c){(3a)2-3a.4c+(4c)2}

= b3(3a+4c){(9a2-12ac+16c2)

 

 (জ) 56x3 +189 y3

সমাধানঃ

56x3 +189 y3    

            =7(8x3 +27 y3)

            =7{(2x)3-(3y3}

            =7(2x-3y)({(2x)2+2x.3y+(3y)2}

            =7(2x-3y)(4x2+6xy+9y2)

Tags: Class 8 Math, JSC Math, অষ্টম শ্রেণি গণিত
Make CommentWrite Comment