SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১২.২ প্রতিস্থাপন-অপনয়ন ও আড়্গুণন পদ্ধতিতে সমাধান

Admin

17 March

প্রতিস্থাপন-অপনয়ন ও আড়্গুণন পদ্ধতিতে সমাধান:

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর (১-৩):

১.

7x-3y=31

9x-5y=41

সমাধানঃ

7x-3y=31………..(i)

9x-5y=41………..(ii)

(i) নং হতে,

7x=31+3y

31+3y

বা, x=------------- ……(iii)

x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

9(31+3y)

------------- - 5y = 41

279+27y

বা, -------------- - 5y = 41

279+27y-35y

বা, -------------------- = 41

বা, 279-8y=287

বা, -8y=287-279

বা, -8y=8

বা, y=8/-8

বা, y=-1

এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

31+3(-1)

x=--------------

31-3

=---------

=-------

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,-1)

২.	x -- 2	+	y -- 3	=	1
	x -- 3	+	y -- 2	=	1
সমাধানঃ
	x -- 2	+	y -- 3	=	1	….(i)
	x -- 3	+	y -- 2	=	1	…..(ii)
(i) নং হতে পাই,
	x -- 2	+	y -- 3	=	1
বা,	3x+2y ---------- 6			=	1
বা,	3x+2y = 6
বা,	3x = 6-2y
বা,	x	=	6-2y ------- 3			….(iii)
x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
,	6-2y ------- 3 ------ 3			+	y -- 2	= 1
বা,	6-2y ------- 9			+	y -- 2	= 1
বা,	2(6-2y)+9y ------------- 18				=	1
বা,	12-4y+9y				=	18
বা,	12+5y			=	18
বা,	5y		=	18-12
বা,	5y		=	6
বা,	y	=	6 -- 5
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
	x	=	6-2.(6/5) ---------- 3
		=	6-(12/5) ---------- 3
		=	30-12 ------- 5 ----- 3
		=	18 ----- 5 ---- 3
		=	18 ---- 15
		=	6 --- 5
∴নির্ণেয় সমাধানঃ
(x,y)		=	(6/5, 6/5)

৩.

x/a+y/b=2

ax+by=a²+b²

সমাধানঃ

x/a+y/b=2…………(i)

ax+by=a²+b²……….(ii)

(i) নং হতে,
	x -- a	+	y -- b	=	2
বা,	x -- a	=	2	-	y -- b
বা,	x -- a	=	2b-y -------- b
বা,	x	=	a(2b-y) ---------- b
বা,	x	=	2ab-ay ---------- b			….(iii)
x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই
	2ab-ay a✕--------- b			+	by
				=	a²	+ b²
বা,	2a²b-a²y --------- b			+	by
				=	a²	+ b²
বা,	2a²b-a²y+b²y --------------- b				=	a²+b²
বা,	2a²b-a²y+b²y= a²b+b³
বা,	-a²y+b²y= a²b+b³-2a²b
বা,	-a²y+b²y= b³-a²b
বা,	y(b²-a²)=b(b²-a²)
বা,	y=b
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
	x	=	2ab-ab ---------- b
বা	x	=	ab -- b
বা	x	=	a
∴নির্ণেয় সমাধানঃ				(x,y)=(a,b)

অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর (৪-৬):

৪.

7x-3y=31

9x-5y=41

সমাধানঃ

7x-3y=31………(i)

9x-5y=41……….(ii)

(i) নং কে 5 দ্বারা ও (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

35x-15y=155

27x-15y=123

--------------------

(-) করে, 8x=32

বা, x=32/8

বা, x=4

(i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

7✕4-3y=31

বা, 28-3y=31

বা, -3y=31-28

বা, -3y=3

বা, y=3/-3

বা, y=-1

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,-1)

৫.

7x-8y=-9

5x-4y=-3

সমাধানঃ

7x-8y=-9……….(i)

5x-4y=-3………..(ii)

(i) নং কে 4 দ্বারা ও (ii) কে 8 দ্বারা গুণ করে পাই,

28x-32y=-36

40x-32y=-24

----------------------

(-) করে, -12x=-12

বা, 12x=12

বা, x=12/12

বা, x=1

(i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

7x-8y=-9

বা, 7✕1-8y=-9

বা, 7-8y=-9

বা, -8y=-9-7

বা, -8y=-16

বা, 8y=16

বা, y=16/8

বা, y=2

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(1,2)

৬.

ax+by=c

ax+by=a²+b²

সমাধানঃ

ax+by=c

বা, abx+b²y=bc……(i) [b দ্বারা গুণ করে]

এবং

a²x+b²y=c²………(ii)

(i)-(ii) করে পাই,

abx-a²x=bc-c²

বা, ax(b-a)=c(b-c)

c(b-c)

বা, ax= -----------

b-a

c(b-c)

বা, x= ------------

a(b-a)

এখন (i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে,

c(b-c)

a✕ ----------- +by = c

a(b-a)

c(b-c)

বা, ----------- +by = c

(b-a)

c(b-c)

বা, by=c- -----------

b-a

c(b-a)-c(b-c)

বা, by= ------------------

b-a

c(b-a-b+c)

বা, by= -----------------

b-a

c(c-a)

বা, by= ------------

b-a

c(c-a)

বা, y= ------------

b( b-a)

∴নির্ণেয় সমাধানঃ

c(b-c) c(c-a)

(x,y)=(---------,------------)

a(b-a) b( b-a)

আড়্গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর (৭-১৫):

৭.

2x+3y+5=0

4x+7y+6=0

সমাধানঃ

2x+3y+5=0………..(i)

4x+7y+6=0………..(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

	x ----------- 3✕6-7✕5		=	y ---------- 5✕4-6✕2
			=	1 ---------- 2✕7-4✕3
বা,	x y 1 --------=---------=--------- 18-35 20-12 14-12
বা,	x -- -17	=	y -- 8	=	1 -- 2
বা,	x -- -17	=	1 -- 2
বা,	2x	=	-17
বা,	x	=	-17 -- 2
এবং
বা,	y -- 8	=	1 -- 2
বা,	2y	=	8
বা,	y	=	8 -- 2
বা,	y	=	4
∴	(x,y)=(-17/2, 4)

৮.

3x-5y+9=0

5x-3y-1=0

সমাধানঃ

3x-5y+9=0………(i)

5x-3y-1=0………….(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

x y

-------------------- = ------------------

(-5)✕(-1)-(3)✕9 5✕9-(-1)✕3

=-------------------

3✕(-3)-5✕(-5)

x y 1

বা, -------- = --------- = ---------

5+27 45+3 -9+25

x y 1

বা, ----- = ------ = -------

32 48 16

x 1

বা,-------- = ---------

32 16

বা, 16x=32

বা, x=32/16

বা, x=2

এবং,

y 1

-------- = ---------

48 16

বা, 16y=48

বা, y=48/16

বা, y=3

∴ (x,y)=(2,3)

৯.

x+2y=7

2x-3y=0

সমাধানঃ

x+2y=7…………(i)

2x-3y=0…………(ii)

সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,

x+2y-7=0

2x-3y-0=0

এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

x y

-------------------- = ------------------

2✕0-(-3)✕(-7) 2✕(-7)-1✕0

=-------------------

1✕(-3)-2✕2

x y 1

বা, -------- = --------- = ---------

0-21 -14-0 -3-4

x y 1

বা, ----- = ------ = -------

-21 -14 -7

x 1

বা,-------- = ---------

-21 -7

বা, -7x=-21

বা, x=21/7

বা, x=3

এবং,

y 1

-------- = ---------

-14 -7

বা, -7y=-14

বা, y=-14/-7

বা, y=2

∴ (x,y)=(3,2)

১০.

4x+3y=-12

2x=5

সমাধানঃ

4x+3y=-12…….(i)

2x=5………(ii)

সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,

4x+3y+12=0

2x+0y-5=0

এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

x y

-------------------- = --------------------

3✕(-5)-0✕12 12✕2-4✕(-5)

=-------------------

4✕0-2✕3

x y 1

বা, -------- = --------- = ---------

15-0 24+20 0-6

x y 1

বা, ------ = ------ = -------

-15 44 -6

x 1

বা,-------- = ---------

-15 -6

বা, -6x=-15

বা, x=-15/-6

বা, x=5/3

এবং,

y 1

-------- = ---------

44 -6

বা, -6y=44

বা, y=44/-6

বা, y=-22/3

∴ (x,y)=(5/2,-22/3)

১১.

-7x+8y=9

5x-4y=-3

সমাধানঃ

-7x+8y=9…….(i)

5x-4y=-3………(ii)

সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,

-7x+8y-9=0

5x-4y+3=0

এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

x y

-------------------- = --------------------

8✕3-(-4)✕(-9) (-9)✕5-3✕(-7)

=-------------------

(-7)✕(-4)-5✕8

x y 1

বা, -------- = --------- = ---------

24-36 -45+21 28-40

x y 1

বা, ------ = ------ = -------

-12 -24 -12

x 1

বা,-------- = ---------

-12 -12

বা, -12x=-12

বা, x=-12/-12

বা, x=1

এবং,

y 1

-------- = ---------

-24 -12

বা, -12y=-24

বা, y=-24/-12

বা, y=-2

∴ (x,y)=(1,2)

১২.

3x-y-7=0

2x+y-3=0

সমাধানঃ

3x-y-7=0…..(i)

2x+y-3=0…..(ii)

সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

x y

----------------------- = --------------------

(-1)✕(-3)-1✕(-7) (-7)✕2-3✕(-3)

=-------------------

3✕1-2✕(-1)

x y 1

বা, -------- = --------- = ---------

3+7 -14+9 3+2

x y 1

বা, ------ = ------ = -------

10 -5 5

x 1

বা,-------- = ---------

10 5

বা, 5x=10

বা, x=10/5

বা, x=2

এবং,

y 1

-------- = ---------

-5 5

বা, 5y=-5

বা, y=-5/5

বা, y=-1

∴ (x,y)=(2,-1)

১৩.

ax+by=a²+b²

2bx-ay=ab

সমাধানঃ

ax+by=a²+b²……(i)

2bx-ay=ab……….(ii)

সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,

ax+by-(a²+b²)=0

2bx-ay-ab=0

এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

-----------------------------

b✕(-ab)-(-a)✕{-( a²+b²)

=-----------------------------

- (a²+b²)✕2b-(-ab)✕a

=-----------------

-a✕a-2b✕b

x y

বা, ------------------ = --------------------

-ab²-a³-ab² -2a²b-2b³+a²b

=--------------

-a²-2b²

x y 1

বা, ------------- = ------------- = -----------

-a³-2ab² -a²b-2b³ -a²-2b²

x y 1

বা, ------------- = --------------- = -----------

-a(a²+2b²) -b(a²+2b²) -a²-2b²

x y 1

বা, ------ = ------ = -------

a b 1

x 1

বা,-------- = ---------

a 1

বা, 5x=10

বা, x=a

এবং,

y 1

-------- = ---------

b 1

বা, y=b

∴ (x,y)=(a,b)

১৪.

y(3+x)=x(6+y)

3(3+x)=5(y-1)

সমাধানঃ

y(3+x)=x(6+y)………..(i)

3(3+x)=5(y-1)………….(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,

3y+xy=6x+xy

বা, 6x+xy-3y-xy=0

বা, 6x-3y+0=0………….(iii)

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,

9+3x=5y-5

বা, 3x-5y+9+5=0

বা, 3x-5y+14=0……….(iv)

(iii), (iv) সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

x y

----------------------- = --------------------

(-3)✕14-(-5)✕0 3✕0-6✕14

=-----------------------

6✕(-5)-3✕(-3)

x y 1

বা, -------- = --------- = ----------

-42 -84 -30+9

x y 1

বা, ------ = ------ = -------

-42 -84 -21

x 1

বা,-------- = ---------

-42 -21

বা, -21x=-42

বা, x=-42/-21

বা, x=2

এবং,

y 1

-------- = ---------

-84 -21

বা, -21y=-84

বা, y=-84/-21

বা, y=4

∴ (x,y)=(2,4)

১৫.

(x+2)(y-3)=y(x-1)

5x-11y-8=0

সমাধানঃ

(x+2)(y-3)=y(x-1)…..(i)

5x-11y-8=0……….(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,

(x+2)(y-3)=y(x-1)

বা, xy+2y-3x-6=xy-y

বা, xy+2y-3x-6-xy+y=0

বা, 3x-3y+6=0

বা, x-y+2=0……….(iii)

(ii), (iii) সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

x y 1

-------- = --------- = ----------

-22-8 -8-10 -5+11

x y 1

বা, ------ = ------ = -------

-30 -18 6

x 1

বা,-------- = ---------

-30 6

বা, 6x=-30

বা, x=-30/6

বা, x=-5

এবং,

y 1

-------- = ---------

-18 6

বা, 6y=-18

বা, 6y=-18/6

বা, y=-3

∴ (x,y)=(-5,-3)

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।